ecoquEconoQuantumEconoQuantum1870-6622Universidad de Guadalajara10.18381/eq.vi21i2.7319Artículo de InvestigaciónUna nueva solución para la distribución de recursos basada en niveles y asignación de incentivos1A new solution for resource distribution based on levels and incentive allocation0000-0003-2241-1102Rodríguez EsparzaLuz Judith*0000-0001-5141-7074Macías PonceJulio César**0000-0003-0425-0122Kú CarrilloRoberto Alejandro***Investigadora por México Conahcyt-Universidad Autónoma de Aguascalientes. México. Correo: luz.rodriguez@edu.uaa.mxUniversidad Autónoma de AguascalientesUniversidad Autónoma de AguascalientesMexicoluz.rodriguez@edu.uaa.mxUniversidad Autónoma de Aguascalientes, Depto. de Matemáticas y Física. México. Correo: jlmacias@correo.uaa.mxUniversidad Autónoma de AguascalientesUniversidad Autónoma de AguascalientesDepto. de Matemáticas y FísicaMexicojlmacias@correo.uaa.mxUniversidad Autónoma de Aguascalientes, Depto. de Matemáticas y Física. México. Correo: alejandro.ku@edu.uaa.mxUniversidad Autónoma de AguascalientesUniversidad Autónoma de AguascalientesDepto. de Matemáticas y FísicaMexicoalejandro.ku@edu.uaa.mx30062024Jul-Dec202421229461908202324052024Este es un artículo publicado en acceso abierto bajo una licencia Creative CommonsResumen:
Objetivo: este trabajo tiene como objetivo proponer una alternativa de reparto de incentivos por niveles. Metodología: el reparto por niveles se obtiene mediante una regresión lineal simple entre el reparto de incentivos asignado a cada agente y el monto demandado, con base en su nivel en la estructura de escalafón. Resultados: la solución propuesta logra repartir exactamente el recurso disponible entre todos los agentes, presentando una implementación sencilla y práctica. Se incluyen tres ejemplos que ilustran la aplicación de este nuevo método, destacando las diferencias con respecto al reparto usual y al proporcional. Limitaciones: la regresión lineal simple utilizada asume una relación lineal entre el nivel de escalafón y los incentivos, lo cual puede no reflejar la complejidad de algunas estructuras organizacionales. Originalidad: la solución de reparto desarrollada en este trabajo ofrece una interpretación en términos de desempeños individuales, lo que amplía su aplicabilidad a diversas áreas. Conclusiones: nuestra propuesta de reparto actúa como un mediador entre los repartos usual y proporcional. Se observa que el reparto usual favorece a los niveles de menor desempeño, mientras que el proporcional beneficia a los niveles más altos.
Abstract:
Objective: this work aims to propose an alternative for distribution of incentives by levels. Methodology: distribution by levels is obtained through a simple linear regression between the distribution of incentives assigned to each agent and the amount demanded according to their level in the ladder structure. Results: the proposed solution manages to exactly distribute the available resource among all agents, presenting a simple and practical implementation. Three examples are included that illustrate the application of this new method, highlighting the differences as compared to both the usual and proportional distribution modes. Limitations: the simple linear regression used assumes a linear relationship between the level and incentives, which may not reflect the complexity of some organizational structures. Originality: the distribution solution developed in this work offers an interpretation in terms of individual performances, which expands its applicability to various areas. Conclusions: our distribution proposal acts as a mediator between the usual and proportional distributions. It is observed that the usual distribution favors the lowest performance levels, while the proportional distribution benefits the highest levels.
Palabras clave:problemas de repartonivelesincentivosregresión lineal simpleClasificación JEL:C02C69C79Key Words:allocation problemslevelsincentivessimple linear regressionJEL Classification:C02C69C79Introducción
La distribución o reparto de recursos en la vida real involucra consideraciones múltiples -días trabajados, edad, etc.-, cuyo resultado final depende de varias dimensiones.
Ahora bien, dependiendo del recurso disponible y las demandas de los agentes se puede tener un problema de bancarrota o de excedente. En el área de economía ha sido muy estudiado el tema de reparto de bienes (O’Neill, 1982; Olvera-López et al., 2014), donde se distribuye, por ejemplo, cierta cantidad de dinero entre los agentes involucrados. Si la demanda de dichos agentes es mayor a lo disponible, existen mecanismos para realizar una distribución “lo más justa posible”. En este contexto, otro problema relevante que puede ser considerado como un problema de reparto es la distribución de incentivos, estímulos o becas.
La asignación de recursos y la planificación de incentivos constituyen un desafío complejo que requiere la consideración de múltiples parámetros. En nuestro estudio, nos centramos específicamente en la distribución equitativa de recursos entre agentes según su desempeño y nivel en una estructura de escalafón. Esto implica determinar las cantidades o montos de incentivos a asignar a cada agente con base en criterios específicos, así como establecer la periodicidad y el número de rondas de entrega. Es importante destacar que, en la implementación de programas de incentivos, surge la incertidumbre sobre la disponibilidad de recursos durante todo el periodo de vigencia del programa. En casos donde el presupuesto asignado puede exceder los montos necesarios, nos enfrentamos al desafío adicional de distribuir el excedente de manera equitativa. En este contexto, existen estudios previos como el de (Moulin, 1987) que analizan la asignación de recursos para problemas de excedente, proporcionando y caracterizando reglas de reparto pertinentes.
Con el fin de ilustrar el problema del reparto de incentivos, consideremos una situación hipotética donde cierta universidad recibe una cantidad de dinero de parte del gobierno, r, para repartir entre un conjunto de profesores (agentes) como parte de un programa de incentivos o recompensas. Supongamos además que existe un reglamento que evalúa el desempeño de los profesores en digamos m categorías, por ejemplo, docencia, investigación, divulgación de la ciencia, trabajo de gestión académica y antigüedad, y que esta evaluación se basa en algún sistema de puntajes, cuya información puede resumirse en una matriz llamada de desempeño (xij), donde i es la categoría y j una etiqueta para cada uno de los participantes. Note que el reparto se podría hacer sólo con base en el desempeño del agente en las categorías. Sin embargo, es común que con base en esta matriz y ciertas reglas previamente preestablecidas se ubique en un nivel a cada profesor, y que a su vez nos da cuenta de la cantidad de dinero que recibirá como incentivo, expresada en múltiplos de una unidad previamente establecida. Por ejemplo, al nivel 1 se le asigna una unidad (digamos 50 dólares), al nivel 2, 2(50 dólares) = 100 dólares, y así sucesivamente.
Sánchez-Sánchez y Olvera-López, 2011; presentan una solución de reparto de incentivos, donde se considera como dato importante el desempeño de los agentes en cada categoría analizada y de esta forma asigna el recurso a cada agente, es decir, se tiene un monto a repartir de r∈R y un conjunto de agentes, N, entonces el monto que recibe cada agente, ri, está dado con base en su desempeño en las categorías, xij, y además cumple con ∑i∈Nri=r. En este caso, los montos otorgados a cada agente, ri, podrían ser distintos, mientras que en el sistema por niveles están agrupados (sólo hay tantos valores distintos como grupos).
Otra solución al reparto de incentivos es el de asignar a cada agente con base en su desempeño y repartir el excedente según algún criterio (a este reparto se le conoce como igualitario o proporcional).
En contraste al reparto de incentivos se encuentra la asignación por multi-categorías (en inglés multi-issues allocation) o con referencias múltiples (Sánchez, 2016), que generaliza el problema de reparto clásico (ver Bergantiños et al., 2010; Calleja, et al., 2005; González-Alcón et al., 2007) y en el cual cada agente reclama una parte del estado.
Motivados por la necesidad de mejorar la equidad y eficiencia en la distribución de incentivos, este trabajo propone una alternativa de reparto por niveles. La conciliación entre el reparto categórico, presentado en (Sánchez-Sánchez y Olvera-López, 2011), y el sistema de evaluación por niveles, es fundamental para abordar las limitaciones de los enfoques convencionales. La eficiencia de nuestra propuesta se evaluará mediante la capacidad de garantizar una distribución equitativa y justa de los incentivos entre los agentes, teniendo en cuenta tanto su desempeño como su nivel en la estructura de escalafón. Para lograr esto, definimos los niveles como grupos o conglomerados en los que se clasifican los agentes después de la evaluación. Cada agente pertenece a un solo nivel y todos los agentes en el mismo nivel recibirán la misma cantidad de incentivo. Además, garantizamos que el total del incentivo disponible se distribuya de manera equitativa entre todos los niveles, lo que permite maximizar el impacto de los recursos disponibles.
Este artículo está organizado de la siguiente manera. En la primera sección, se presentan algunos preliminares de problemas de reparto. En la siguiente sección, se deduce la propuesta de acuerdo con el nivel de los agentes y se prueba el resultado. Luego, los ejemplos numéricos de reparto. Finalmente, se presentan las conclusiones.
Preliminares
En esta sección se presentan antecedentes relevantes sobre problemas de reparto y asignación de recursos/incentivos. Se abordan distintas variantes del problema, incluyendo situaciones de recurso escaso, abundante, ausencia de restricciones sobre el recurso y el desafío específico de la asignación de incentivos. Al explorar estas diferentes condiciones y escenarios, se busca establecer una base sólida para comprender la complejidad del problema y las diversas consideraciones que influyen en la distribución equitativa de recursos. Además, se analizan posibles soluciones y enfoques utilizados en la literatura para abordar estos problemas, lo que proporciona un marco de referencia para evaluar la eficacia y relevancia de la alternativa propuesta en este trabajo. Al identificar los pros y contras de cada enfoque presentado, se pretende contextualizar y justificar la selección del enfoque adoptado en este estudio, así como resaltar la contribución única que aporta nuestra propuesta al campo de la distribución de recursos/incentivos.
Problema de bancarrota
Supongamos que tenemos la terna (N,d,r) donde N es el conjunto de agentes, d=dii∈N es el vector de demandas, con di la demanda del agente i, y r∈R es la cantidad a repartir.
Una situación de bancarrota se presenta si la demanda total, resultante de la acumulación de las demandas de cada agente, excede al capital/recurso disponible a repartir entre todos los agentes. Una solución a este problema es una re gla de reparto que proporciona una distribución razonable de la cantidad del bien a repartir como función de las demandas de los agentes. (O’Neill, 1982) presentó un convincente modelo matemático a este problema. Propuso varias metodologías para adjudicar reclamaciones conflictivas, y proporcionó reglas sobre la base de estas metodologías. Algunas propiedades del juego de bancarrota se pueden encontrar en (Curiel et al., 1987).
El artículo presentado por (Thomson, 2003) trata de la asignación de la liquidación después de que una empresa quiebra, utilizando la teoría de juegos cooperativos y formulando propiedades de reglas cuando la población de agentes es fija o cuando varía. Recientemente, (Thomson, 2015) presentó una actualización. Estas referencias presentan una revisión detallada sobre los problemas de bancarrota y sus reglas de reparto.
En la literatura existen diferentes soluciones al problema de bancarrota. Por ejemplo, la regla proporcional dada por Pi=rdi∑i∈Ndj con i∈N, la regla de ganancias igualitarias (dado por CEAi=mindi,ξ, donde ξ es el único número real no negativo que cumple con ∑i∈NCEAi=r, i.e., todos los agentes reciben ξ excepto quienes demandan menos que ξ, que reciben su demanda) y la regla de pérdidas igualitarias (Herrero y Villar, 2002) dada por CELi=maxdi-ξ,0, para todo i∈N y ξ es el único número real tal que ∑i∈NCELi=r.
Una generalización al problema clásico de bancarrota lo presenta (Calleja et al., 2005), donde las demandas se consideraron multidimensionales, representando los distintos ámbitos o categorías donde los agentes tienen demandas en cada uno de ellos. Así pues, en vez de tener solo un valor, se tiene un vector de demandas para cada agente y el modelo quedaría como (M,N,d,r) donde M es el conjunto de ámbitos sobre los que se demanda y d=diji∈M,j∈N es la matriz que contiene dichas demandas. La solución a este problema está dada como un vector en <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math>, indicando el reparto para cada agente. Además, otra solución fue propuesta por (Bergantiños, 2010), donde se especifica la cantidad que recibe cada agente en cada ámbito, es decir, se tiene una matriz solución en RM×N. Los autores presentan una caracterización axiomática de la regla proporcional. Sin embargo, considerando este enfoque, la cantidad que reciben en un ámbito no se lo pueden gastar en otro, mientras que en el modo propuesto por (Calleja et al., 2005) pueden gastar su asignación como quieran.
Recientemente, (Bergantiños et al., 2018) presentaron una regla de dos etapas al problema propuesto por (Calleja et al., 2005). Primero, dividieron el recurso entre los ámbitos siguiendo la regla de ganancias igualitarias restringidas. En segundo lugar, el monto asignado a cada ámbito se divide entre los agentes en proporción a sus demandas en este ámbito.
Problema de excedente
Un problema de asignación importante es cuando el recurso es abundante de tal forma que la acumulación de las demandas es menor que el recurso disponible, es decir, hay un excedente de recurso, a saber r-∑i∈Ndi, y habría que repartirlo entre los agentes. Este problema lo aborda ampliamente (Moulin, 1987).
El problema de reparto de recursos o incentivos es un tipo de problema de excedente que ha sido abordado considerando diferentes aspectos, como son las prioridades, los tipos de niveles, diferentes bienes, entre muchos otros. Frecuentemente el reparto de incentivos a los agentes se hace utilizando una regla de reparto proporcional o bien asignando la demanda de cada agente, di, más un factor -repartiendo el excedente en partes iguales-, esto es, el agente i tendrá un reparto de:
ri=di+r-∑i∈Ndjn
donde n es el cardinal de N.
La fracción de la parte derecha de la Ecuación 1 es independiente del nivel obtenido por el agente i, y cuando el recurso disponible es grande, es decir r≫∑j∈Ndj, se le asigna prácticamente lo mismo a todos los agentes, no importando su nivel, premiando de alguna manera a los agentes más débiles.
Problema de reparto sin restricciones
En Herrero et al. (1999) consideraron el problema de distribuir una cantidad dada de un bien divisible entre un conjunto de agentes que pueden tener derechos individuales, proponiendo la solución igualitaria de derechos. Esta regla de asignación divide equitativamente entre los agentes la diferencia entre los derechos agregados y la cantidad del bien disponible. Una característica relevante del análisis desarrollado es que no se establece ninguna restricción de signo sobre los parámetros del modelo (es decir, el derecho agregado puede exceder o no alcanzar la cantidad del bien, los derechos de los agentes pueden ser positivos o negativos, la asignación puede implicar una redistribución de las propiedades de los agentes, etc.). Este artículo proporciona varias caracterizaciones de esta regla y analiza su soporte teórico del juego.
Problema de asignación de incentivos
Supongamos ahora que en vez de demandas se tienen desempeños -denotados por X-, es decir, los agentes tienen cierto desempeño en los distintos ámbitos o categorías y la asignación del recurso es con base en este desempeño. Note que en este caso ya no se aplica la restricción de que el recurso es escaso (bancarrota). Este problema de reparto ha sido analizado por (Sánchez-Sánchez y Olvera-López, 2011). El modelo sería (M,N,X,r) siendo M el conjunto de categorías, N el de agentes, X=xiji∈M,j∈M∈RM×N la matriz de desempeños (i.e., xij denota el desempeño del agente j en la categoría i) y r el recurso que se va a distribuir.
El artículo de (Sánchez-Sánchez y Olvera-López, 2011) proporciona una forma para encontrar el reparto para cada agente, rj, j∈N, tal que ∑j∈Nrj=r. Sean βmm∈M, con βm∈R, un conjunto de constantes que representan el peso de cada categoría (note que estos pesos pueden incluso ser negativos). Luego, la regla de reparto de incentivos para el agente j está dada por
rj=rn+∑m∈Mβmxmj-X-m,j∈N
donde X-m denota el desempeño promedio de los agentes en la categoría m, i.e., X-m=∑j∈Nxmjn.
La regla de reparto (Ecuación 2) se interpreta como que cada agente recibe la misma parte del recurso, rn, y después se penaliza o bonifica con base a su desempeño en cada categoría. Note que al aplicar esta regla de reparto, el recurso asignado al agente j, rj, j∈N, es independiente del nivel al que pertenece, es decir, los agentes que están en el mismo nivel reciben distintos montos. En la Figura 1; se ilustra con datos simulados, un ejemplo de la regresión lineal simple entre el reparto de incentivos con base en el desempeño y el respectivo nivel de los agentes.
Ejemplo de Regresión Lineal Simple entre el reparto de incentivos y considerando siete niveles.
-
A continuación presentaremos el caso de reparto de incentivos con desempeños multidimensionales y una estructura de niveles.
Metodología
En esta sección se propone una fórmula de reparto de incentivos analizando la relación entre la clasificación de agentes y su asignación de recurso de acuerdo con (Sánchez-Sánchez y Olvera-López, 2011).
Definamos el modelo M,N,X,r,L,Fii∈L,Q,Qii∈L,A donde
M=1,…,m, es el conjunto de categorías,
N=1,…,n, es el conjunto de agentes,
X∈RM×N es la matriz de desempeños,
r∈R es la cantidad a repartir,
L=1,…,l, es el conjunto de niveles,
Fi con i∈L, es el número de agentes por nivel, o frecuencias por niveles,
Q es un monto fijo, puede ser, por ejemplo, un salario mínimo o la Unidad de Medición y Actualización (UMA),
Qi con i∈L, es el número de montos a repartir en cada nivel,
y A es el número de rondas o veces que se pueden repartir los incentivos, de acuerdo con el nivel obtenido por los agentes.
En la Tabla 1 se ejemplifica la información del número de montos Qi y el número de agentes que obtuvieron el nivel i, denotado por Fi, para i∈L. Cabe hacer notar que ∑i=1lFi=n.
Información de número de montos y frecuencias por niveles.
Nivel
Número de Montos
Frecuencia
1
Q1
F1
2
Q2
F2
⁞
⁞
⁞
l
Ql
Fl
-
Estamos interesados en determinar un monto único para cada nivel, por lo que realizaremos una regresión lineal simple entre el reparto rj, obtenido por cada agente usando la Ecuación 2, y el número de montos del agente, acorde con su nivel, denotado por qj, j∈N (note que el número de montos está dado de acuerdo con el nivel de cada agente). Si r=r1,…,rn y q=q1,…,qn, entonces el modelo de regresión simple estará dado por r=η0+η1q, donde η0 y η1 son los parámetros del modelo, que al evaluarse en cada uno de los montos correspondientes a los niveles, obtenemos el reparto para cada agente del nivel i, el cual está dado por
Ri=η0+η1Qi,i∈L
donde los estimadores de los parámetros por mínimos cuadrados de la regresión (ver James et al., 2013) están dados por:
η1=∑j∈Nrj-R-qj-Q-∑jqj-Q-2
η0=R--η1Q-
donde R-=1n∑j=1nrj=rn y Q-=1n∑j=1nqj=1n∑i=1lFiQi.
Por otro lado, considerando la regla del reparto del problema de incentivos con desempeños multidimensionales dado en la Ecuación 2, se tiene que las βm arbitrarias, si en particular, estos pesos están dados por βm=fα, donde f, α∈R, con α≠0, son constantes que definiremos posteriormente, entonces la regla de reparto para el agente j quedaría como sigue
rj=rn+∑m∈Mfαxmj-X-m,j∈N
Note que al elegir a todos los βm iguales estamos asignando a cada categoría el mismo peso. Sea Cj=∑m∈Mxmj-X-m∈R, α≠0 la constante que suma sobre todas las categorías la diferencia entre el desempeño del agente j y el desempeño promedio.
Luego, la Ecuación 6 la podemos reescribir como rj=rn+fαCj, lo cual sustituimos en Ecuación 4 y obtenemos que el parámetro η1 está dado por
haciendo α=∑j∈NCjqj-Q-∑j∈Nqj-Q-2∈R, entonces η1=f.
Sustituyendo esto en la Ecuación 5, obtenemos que el parámetro
𝜂
0
está dado por
𝜂
0
=
𝑅
−𝑓
𝑄
. Finalmente, sustituyendo ambos parámetros,
𝜂
0
y
𝜂
1
en la Ecuación 3, el reparto en el nivel 𝑖, para 𝑖∈𝐿, está dado por:
Ri=R--fQ-+fQi=rn+fQi-Q-
Sumando el reparto de todos los agentes, se obtiene que
Es decir, efectivamente, se ha repartido todo el recurso disponible r, por lo que se dice que cumple la Ecuación de eficiencia. Note que esta Ecuación proviene de la regresión lineal y su eficiencia la toma del reparto por categorías.
Observe que aún es necesario determinar el valor de la constante f. Para ello, sea A∈R tal que f=A⋅Q, por ejemplo, si A∈Z se podría definir como el máximo valor tal que A⋅Q⋅∑i=1lFiQi≤r, luego, A indicaría el número de veces o rondas que se pueden repartir todos los incentivos de acuerdo al nivel obtenido. Entonces, la fórmula de reparto estará dada por
Ri=rn+A⋅QQi-1n∑i=1lFjQj,=A⋅QQi+1nr-A⋅Q∑j=1lFjQj
la cual asigna A veces el estímulo de cada nivel de manera completa, i.e., A⋅QQi más un enésimo del excedente, 1nr-A⋅Q∑j=1lFjQj.
Ahora bien, si A=1, además de tener el caso donde se reparte una vez los montos asignados a cada nivel, tenemos el reparto usual, es decir, donde el sobrante se divide entre todos los agentes por igual, ver Ecuación 1.
Observación 2.1
Supongamos que las demandas son iguales a los desempeños de los agentes dados por xi=Q⋅Qi, para i∈L, entonces la Ecuación 9 se podría escribir como
Ri=rn+Axi-x-,i∈L
donde x-=rn∑i=1lFjxj.
Y por otro lado, reescribiendo la Ecuación 1 en términos de desempeños observamos que ri=rn+xi-x-, es decir, el reparto usual es un caso particular de la Ecuación 10 cuando A=1 e i∈L. Además, si A=r∑j∈LFjxj entonces Ri=rxi∑j∈LFjxj, el cual coincide con la regla proporcional (ver Casares y Plata, 2020). Inclusive, A podría ser diferente para cada nivel i, i.e.,
Ri=rn+Aixi-x-,i∈L
donde
𝐴
𝑖
∈ℝ representa el peso que tiene el nivel i, i∈L, condicionado a que ∑i=1lFiRi=r.
Propiedades
Ahora describiremos algunas propiedades -axiomas- de las soluciones de reparto que nos permitirán elegir una solución sobre otra a través de las propiedades que se satisfacen, y así contar con un criterio metodológico que justifique la elección.
Sea x=x1,…,xl el vector con los desempeños para cada nivel, x∈R+l. Así, un problema de reparto será una dupla x,r y una solución será un L-vector ψx,r cuya i-ésima componente está definida como ψix,r:R+l×R→R.
La primera propiedad que definiremos señala que si las demandas asignadas a dos niveles son iguales, entonces ambos niveles obtendrán la misma cantidad.
Axioma 2.1
(Tratamiento igualitario) Una solución <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:math> satisface el axioma de tratamiento igualitario. Si para agentes en los niveles i y j, i, j∈L, con desempeños xi=xj, entonces
ψix,r=ψjx,r
El siguiente axioma es estándar en la literatura de Teoría de Juegos cooperativos y asegura que se reparte el total del recurso.
Axioma 2.2
(Eficiencia) Una solución ψ satisface el axioma de eficiencia si
∑i=1lFiψix,r=r
para cada x∈R+l y r∈R.
Axioma 2.3
(Aditividad) Para una pareja de vectores x1, x2∈R+l y r1,r2∈R, una solución ψ satisface el axioma de aditividad si
ψx1,r1+ψx2,r2=ψx1+x2,r1+r2
Proposición 2.1
La solución presentada en la Ecuación 10, con ψix,r:=rn+Axi-x-,i∈L, satisface las propiedades de tratamiento igualitario, eficiencia y aditividad.
Dem.
Tratamiento igualitario: si <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> se tiene que
La solución presentada en la Ecuación 11, con ψix,r:=rn+Aixi-x-,i∈L, y las Ai definidas de tal manera que ∑i=1lFiRi=r, satisface las propiedades de tratamiento igualitario con Ai=Aj, eficiencia y aditividad.
Ejemplos numéricos
A continuación se presentan tres ejemplos donde se aplica la regla de reparto obtenida en este trabajo. El primer ejemplo presenta un análisis del reparto mensual del estímulo otorgado por el Sistema Nacional de Investigadoras e Investigadores en México. El segundo aborda una situación de reparto de un estímulo económico a profesores universitarios acorde a su nivel obtenido debido a su desempeño docente. El tercer ejemplo trata sobre el reparto del presupuesto de egresos del Consejo Nacional de Humanidades, Ciencias y Tecnologías (Conahcyt) de México o también llamado Ramo 38.
Sistema Nacional de Investigadoras e Investigadores de México
El Sistema Nacional de Investigadoras e Investigadores (SNII) -antes llamado Sistema Nacional de Investigadores (SNI)- es un programa de estímulos que se otorga a científicos mexicanos como complemento de su sueldo, con base esencialmente, en su productividad académica y formación de recursos humanos. Los investigadores se clasifican en cinco niveles, conforme al Diario Oficial de la Federación reciben apoyos económicos en términos de UMAs. La UMA es la referencia económica en pesos para determinar la cuantía del pago de las obligaciones y supuestos previstos en las leyes federales mexicanas; cuyo valor mensual en 2022 fue de Q=$2,925.09 pesos mexicanos.2
En la Tabla 2 se muestran los niveles (exceptuando los investigadores Eméritos), el número de UMAs por nivel,3 su equivalente estímulo mensual y el número de investigadores que en 2021 había en cada nivel.4 Con base en esta información, mensualmente se requiere mínimo la cantidad de Q⋅∑i=14FiQi=$628,976,252.52 pesos mexicanos para repartir entre los investigadores de México.
Información del estímulo económico y número de investigadores SNII en México 2021.
Nivel
Núm. de montos
Estímulo mensual
Frecuencia
Qi
(Pesos mexicanos)
Fi
C
3
$8,775.27
9,168
1
6
$17,550.54
18,351
2
8
$23,400.72
4,968
3
14
$40,951.26
2,691
-
Si, por ejemplo, se tiene la cantidad r=$731,875,069 para repartirla mensualmente a los investigadores de acuerdo a su nivel, en este caso solo se reparte el dinero en una ronda a los investigadores y representa el reparto usual. Aplicando la Ecuación 1, en la Tabla 3 se presenta una propuesta de reparto para cada nivel.
Reparto mensual del SNII a los investigadores de acuerdo a su nivel, teniendo un presupuesto de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>$</mml:mi><mml:mn>731,875,069</mml:mn></mml:math>.
Nivel
Estímulo mensual
(Pesos mexicanos)
C
$11,700.36
1
$20,475.63
2
$26,325.81
3
$43,876.35
-
Ahora supongamos que el recurso mensual disponible es mayor a la cantidad requerida para repartir el estímulo a los investigadores por dos meses, por ejemplo, r=$1,300,000,000. En la Figura 2 se presentan tres tipos de reparto usando la Ecuación 10: el reparto usual, i.e., considerando A=1, una propuesta de reparto con A=1.5 y el reparto proporcional, i.e., A=2.06685.
Propuestas de reparto mensual del SNII a los investigadores de México de acuerdo a su nivel, teniendo un presupuesto de <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>$</mml:mi><mml:mn>1,300,000,000</mml:mn></mml:math>.
-
Note que el reparto usual discrimina menos por nivel, pues el excedente se reparte a todos por igual, y mientras mayor sea el excedente, menos diferencia habrá por nivel. A los candidatos a investigadores, nivel C, el reparto usual les da más recurso que los otros dos tipos de reparto, pues como se había mencionado anteriormente, el reparto usual le otorga la demanda de cada nivel más cierta cantidad de dinero a todos los niveles, a saber 1nr-∑i=1lFiQi=19,075.1 pesos mexicanos. Los investigadores SNII 1, obtienen prácticamente el mismo recurso con los tres tipos de reparto. Sin embargo, los investigadores SNII 2 y SNII 3 obtienen más recurso si A>1. Así pues, con la propuesta de reparto considerando A=1.5, mediamos los repartos entre el usual y el proporcional. Observe que si A>r∑j∈LFjxj, entonces se discriminará más entre los niveles pero ya no se asegura la positividad de los repartos.
Universidad
El Programa de Estímulos al Desempeño del Personal Docente (PEDPD) es un programa del gobierno federal de México cuyo propósito es “reafirmar el trascendente papel de los educadores en el proceso de enseñanza y aprendizaje” (Secretaría de Educación Pública, 2008) en las universidades públicas de México. Dicho programa se rige por normas generales, planteadas por la Secretaría de Educación Pública, aplicadas mediante un reglamento propio de cada universidad o institución de educación superior (IES) emitiendo una convocatoria anual.
Dicho estímulo se reparte, en múltiplos de una UMA. Al igual que en el caso del SNII, en particular, al nivel 1 se le otorga 1 UMA, al nivel 2, 2 UMAs, y así sucesivamente hasta el nivel l. Así pues, supongamos que cierta universidad debe distribuir r cantidad de dinero al año entre sus 256 profesores que están clasificados en 7 distintos niveles.
La Tabla 4 muestra la frecuencia de profesores en cada nivel y el número de UMAs que les corresponde.
Datos de información de reparto de cierta universidad.
Nivel
Monto Qi
UMA mensual
Frecuencia Qi
1
1
14
2
2
19
3
3
28
4
4
75
5
5
91
6
6
27
7
7
2
-
Acorde con la información de la Tabla 4, la demanda mensual de la universidad es de $3,121,071 y la demanda anual es de $37,452,852. Visto de otro modo, en la Tabla 5 se presentan las demandas mensuales acumuladas. Ahora bien, consideremos que a la universidad le asignan solamente r=$34,000,000. Luego, la Universidad no podrá repartir el incentivo a sus profesores durante todo el año, de hecho, podrá hacerlo hasta el mes de octubre (ver Tabla 5).
Demanda mensual acumulada de la universidad
No.
Mes
Demanda mensual acumulada
1
Enero
$3,121,071
2
Febrero
$6,242,142
3
Marzo
$9,363,213
4
Abril
$12,484,284
5
Mayo
$15,605,355
6
Junio
$18,726,426
7
Julio
$21,847,497
8
Agosto
$24,968,568
9
Septiembre
$28,089,639
10
Octubre
$31,210,710
11
Noviembre
$34,331,781
12
Diciembre
$37,452,852
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Considerando la Ecuación 10 y tres tipos de reparto: el reparto usual (A=1), una propuesta de reparto con A=5 y el reparto proporcional (A=10.8937), en la Figura 3 se presentan los porcentajes que cada tipo de reparto le otorga a cada nivel.
Porcentaje del reparto de incentivos en cada nivel de la Universidad considerando <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>$</mml:mi><mml:mn>34,000,000</mml:mn></mml:math> y las opciones de reparto Usual <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>, Propuesta <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:math> y Proporcional <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10.8937</mml:mn></mml:math>.
-
Del total del recurso asignado, el reparto usual le otorga mayor recurso a los niveles 1, 2 y 3 que las otras dos opciones de reparto (propuesta y proporcional), los tres tipos de reparto otorgan prácticamente la misma proporción de incentivos al nivel 4, mientras que el reparto proporcional le otorga mayor recurso a los niveles 5, 6 y 7. Si interpretamos a A como el número de rondas, podríamos concluir que a mayor número de rondas, mayor es el beneficio para los niveles más altos, y viceversa. Note además, que el reparto proporcional correspondería a A=10.8937 rondas, reparto que normalmente se aplica en las universidades.
Ramo 38
El ramo 38 del presupuesto de egresos de la federación de México concentra los recursos que el Conahcyt utiliza para su operación y sus programas, así como el subsidio de sus 26 centros públicos de investigación. En (Herrera González, 2021), con base en la información de la cuenta pública 2021, presenta el gasto que fue ejercido directamente por el gobierno federal en cada una de las 32 entidades federativas de México por concepto de programas sujetos a reglas de operación como lo es el ramo 38.
El objetivo es estimar el proyecto de presupuesto de egresos de la federación (PPEF) 2022 para cada entidad federativa, que de acuerdo con (Herrera González, 2021) se tienen para distribuir r=$132,997.40 millones de pesos corrientes o también llamados actuales. Esto con el fin de contribuir a la toma de decisiones legislativas del senado de la república y apoyar en el ejercicio de sus facultades de supervisión y control.
Vale la pena aclarar que el presupuesto no distribuible incluye recursos que no pueden ser distribuidos por las entidades federativas, por ejemplo, algunos de ellos requieren de convenios de descentralización. En este ejemplo, los desempeños xi son los presupuestos de egresos de la federación (PEF) del 2021 de cada entidad y fueron tomados del Cuadro 4 de (Herrera González, 2021), (ver Tabla 6). Así pues, con base en estos datos se tiene que la demanda promedio para el ramo 38 es x-=$3,644.473 millones de pesos corrientes.
Propuesta de pesos <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> para cada Entidad Federativa
Entidad
xi
Vi
Ai
Entidad
xi
Vi
Ai
Aguascalientes
113.9
129.3
1.10490
Morelos
559.1
650.4
1.09543
Baja California
1490.9
1600.5
1.12823
Nayarit
63.1
71.5
1.10536
Baja California Sur
656.2
685.9
1.11915
Nuevo León
640.7
727.9
1.09939
Campeche
45.7
55.0
1.10460
Oaxaca
143.1
162.8
1.10454
Coahuila
1492.8
1575.9
1.14066
Puebla
1046.8
1159.0
1.10531
Colima
81.5
95.7
1.10428
Querétaro
2190.6
2192.4
1.26409
Chiapas
596.6
637.3
1.11321
Quintana Roo
65.1
74.9
1.10503
Chihuahua
503.4
541.4
1.11071
San Luis Potosí
737.9
798.6
1.11183
Ciudad de México
95080.4
105924.1
1.11437
Sinaloa
256.96
289.3
1.10431
Durango
100.1
113.3
1.10511
Sonora
778.2
842.2
1.11225
Guanajuato
1195.0
1265.5
1.12870
Tabasco
102.3
116.1
1.10501
Guerrero
104.3
114.9
1.10597
Tamaulipas
152.9
173.5
1.10458
Hidalgo
1250.3
1280.0
1.14871
Tlaxcala
95.3
106.6
1.10550
Jalisco
1090.8
1214.7
1.10254
Veracruz
826.4
900.0
1.11077
México
5496.4
5961.5
1.04285
Yucatán
807.8
883.4
1.10934
Michoacán
691.1
760.3
1.10718
Zacatecas
103.3
120.6
1.10405
-
No distribuible
1708.7
1772.8
1.16616
-
Consideremos tres tipos de reparto: usual (A=10.8937), propuesta (tomando distintos valores Ai∈R, calculados de la siguiente manera Ai=Vi-r/nxi-x- donde Vi es el proyecto de presupuesto de egresos para el 2022 dado por (Herrera González, 2021) para la Entidad i, (ver Tabla 6) y proporcional (A=1.105845). Utilizando la Ecuación 10 y Ecuación 11, en la Figura 4 se presentan los presupuestos de egresos de cada entidad federativa considerando estos tres tipos de reparto.
Gasto Federal por Entidades Federativas de acuerdo al Ramo 38 utilizando tres opciones de reparto: Usual <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math>, Propuesta <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> (datos de la <xref ref-type="table" rid="t6">Tabla 6</xref>) y Proporcional <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.105845</mml:mn></mml:math>. El de la Ciudad de México presentado en esta gráfica fue dividido entre 20 y el de México entre 2 para su mejor apreciación.
-
El reparto usual otorga más gasto a todas las entidades excepto a la Ciudad de México y al Estado de México -denotado por México-, siendo que éstas tienen los mayores desempeños y se podría suponer que recibirían un mayor presupuesto, pero el reparto usual divide el recurso entre todos los estados, sin importar su desempeño. Con respecto a los repartos realizados con nuestra propuesta y la proporcional se pueden apreciar que tienen ligeras diferencias cuando los desempeños son bajos y más notorios conforme el desempeño es mayor. Además, cabe mencionar que los Ai fueron calculados de tal forma que el reparto coincida con los gastos públicos asignados en 2022, lo cual nos confirma que no se usó el reparto proporcional señalado por (Herrera González, 2021).
Conclusiones
En este trabajo se ha abordado el tema de la asignación de incentivos entre agentes, los cuales están agrupados por niveles y que a su vez determinan el estímulo que recibirán.
Cabe señalar que el nivel asignado a cada agente se obtiene a partir de una evaluación previa. La propuesta metodológica se basó en una fórmula dada en la literatura sobre la distribución de incentivos que considera el desempeño individual de cada agente en diversas categorías, donde en general, todos los agentes obtienen distintos estímulos.
El afán de reconciliar el reparto por niveles y por desempeño individual, nos condujo a una fórmula de reparto de incentivos por niveles, obtenida mediante una regresión lineal simple, entre el reparto obtenido considerando el desempeño individual y el número de montos de estímulo asignados a cada agente. Esta solución cumple las mismas propiedades de la solución de reparto original, y en particular, reparte completamente el recurso disponible entre los agentes. Además, de que su implementación resulta muy sencilla y práctica.
Cabe señalar que esta solución está en términos de un parámetro A, que puede interpretarse como el número de rondas bajo ciertas condiciones, pero que resulta más general, pues modula el reparto entre niveles. Por ejemplo, con A=1, obtenemos el reparto usual de excedentes, y con A=r∑j∈LFjxj, obtenemos el reparto proporcional. Adicionalmente, este parámetro puede tomar distintos valores A=1, para cada nivel i, dando pie a una nueva regla de reparto que podría tomar relevancia en ciertos contextos.
Por otro lado, la solución de reparto encontrada en este trabajo admite una interpretación en términos de los desempeños, extendiendo su aplicación a otras áreas. Para mostrar su utilidad, se presentaron tres aplicaciones de la fórmula de reparto obtenida.
Las primeras dos son aplicaciones al reparto de incentivos para investigadores y profesores universitarios, suponiendo que existe un excedente en recurso disponible. En ambos casos, se mostró que el reparto usual es más ventajoso para los niveles cuyo desempeño es menor, en comparación con el reparto proporcional, y para ambos, se propuso un reparto que media entre ellos. Es importante señalar que el reparto usual podría considerarse “injusto”, pues no toma en cuenta el desempeño o nivel obtenido por los agentes. En el último ejemplo, se utilizó nuestra propuesta como una alternativa al reparto del presupuesto de egresos en el contexto de ciencia y tecnología para México, mostrando que el reparto propuesto por (Herrera González, 2021) no es proporcional, pero que puede ajustarse a nuestra regla considerando diferentes valores o pesos para cada nivel.
Así, nuestro estudio ofrece una contribución significativa a la literatura al proporcionar una alternativa innovadora para la distribución de recursos, especialmente en entornos donde se busca equilibrar la eficiencia con la equidad. En comparación con el reparto proporcional convencional, nuestra solución aborda de manera más justa las diferencias de desempeño entre los agentes, lo cual resulta crucial para garantizar una asignación equitativa de recursos. Al considerar el nivel alcanzado por cada agente en una estructura de escalafón y aplicar una regresión lineal simple entre el reparto de incentivos y el desempeño, nuestro método ofrece una distribución más ajustada y justa de los recursos disponibles. Además, nuestras aplicaciones en áreas como la investigación académica y la asignación de presupuestos en la ciencia y tecnología demuestran la versatilidad y aplicabilidad práctica de nuestra propuesta en diferentes contextos. Estos hallazgos tienen implicaciones significativas para la toma de decisiones en la distribución de recursos, sugiriendo un enfoque más integral y justo que puede adaptarse a una variedad de situaciones y necesidades específicas.
Al considerar las propiedades de nuestra propuesta de reparto de incentivos, es crucial destacar su capacidad para abordar situaciones tanto de bancarrota como de excedente, teniendo en cuenta el nivel de los agentes involucrados. A diferencia de los enfoques convencionales que pueden no ser capaces de manejar adecuadamente estas condiciones extremas, nuestra propuesta ofrece una solución más robusta y equitativa al garantizar la distribución justa de recursos incluso en situaciones de escasez o excedente. Esto se logra mediante la incorporación del nivel de los agentes como un factor clave en el proceso de asignación de incentivos, lo que permite adaptarse dinámicamente a las condiciones cambiantes y maximizar el impacto de los recursos disponibles. Además, al abordar directamente los desafíos de la bancarrota y el excedente, nuestra propuesta ofrece una mejora significativa sobre los enfoques tradicionales y establece un nuevo estándar para la distribución equitativa de incentivos en entornos dinámicos y complejos.
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Agradecimientos: Esta investigación ha sido financiada a través de los proyectos PIM23-1, PIM23-3 y PIM24-5 de la Universidad Autónoma de Aguascalientes.