ecoqu EconoQuantum EconoQuantum 1870-6622 2007-9869 Universidad de Guadalajara 10.18381/eq.v20i2.7289 Artículos Volatilidad dinámica en el sector bancario en México: evidencia DDC-GARCH vs Cópula-GARCH Dynamic volatility of bank stock returns in Mexico: DCC-GARCH vs Copula-GARCH approaches 0000-0002-0860-199X Bucio-Pacheco C. * 0000-0002-6597-5293 Sosa-Castro M. ** 0000-0003-4327-2033 Reyes-Zarate F. *** UAEMéx - UAP Huehuetoca. México. Correo electrónico: cbuciop@uaemex.mx Universidad Autónoma del Estado de México UAEMéx UAP Huehuetoca Mexico cbuciop@uaemex.mx UAM - Iztapalapa. México. Correo electrónico: msosac87@hotmail.com Universidad Autónoma Metropolitana UAM Iztapalapa Mexico msosac87@hotmail.com UAM - Azcapotzalco. México. Correo electrónico: fjrz@azc.uam.mx Universidad Autónoma Metropolitana UAM Azcapotzalco Mexico fjrz@azc.uam.mx 27 09 2023 Jul-Dec 2023 20 2 69 93 02 09 2022 18 04 2023 Este es un artículo publicado en acceso abierto bajo una licencia Creative Commons Resumen Objetivo:

Analizar la volatilidad dinámica entre principales bancos situados en México.

 Metodología:

Se emplean dos metodologías alternas: i) DCC-GARCH y ii) Cópula-GARCH con ventanas móviles. Se utilizan los precios accionarios semanales de cierre de cuatro bancos en México: BBVA, Citi-Banamex, Banorte e Inbursa del 27 de enero de 2009 al 29 de octubre de 2021.

 Resultados:

Se confirma que la correlación entre volatilidades de los bancos es cambiante.

 Limitación:

La principal es que no se pudieron incluir más bancos debido a la evolución de los precios de sus acciones.

 Originalidad:

La originalidad subyace en el contraste de resultados, a través de las metodologías propuestas se obtienen resultados similares y estos son más restrictivos conforme la metodología incluye una captura distribucional óptima sobre el comportamiento de los datos.

 Conclusión:

Al existir patrones diversos de volatilidad entre los principales bancos en México, se puede promover la diversificación de portafolios.

 Abstract Objective:

To analyze the dynamics of volatility among the main banks in Mexico.

 Methodology:

Two complementary methodologies are used: i) DCC-GARCH and ii) Rolling window Copula-GARCH. Weekly closing stock prices of stocks among four of the main banks are used: BBVA, Citi-Banamex, Banorte and Inbursa, from January 27, 2009 to October 29, 2021.

 Results:

The results confirm a time-varying correlation.

 Limitations:

The main limitation is that we have not been able to include more banks due to the evolution of their prices.

 Originality:

The originality lies in the contrast of the results, but these are more restrictive as the distribution optimally captures the behavior of the data.

 Conclusions:

We conclude that different volatility patterns encourage investment decisions that consider potential losses and promote porfolio diversification.

 Palabras clave: Volatilidad dinámica Rendimiento de las acciones bancarias Bolsa Mexicana de Valores DCC-GARCH Cópula-GARCH Clasificación JEL: G11 G21 G32 Keywords: Dynamic Volatility Bank Stock Returns Mexican Stock Exchange DCC-GARCH Copula-GARCH JEL Classification: G11 G21 G32 Introducción

Los bancos juegan un papel clave en la economía, ya que son los intermediarios financieros por excelencia, aquellos que canalizan el ahorro y lo dirigen hacia la inversión haciendo posible el crecimiento empresarial y la adquisición de activos por parte de las economías domésticas, mejorando la situación de los diversos agentes económicos, ofreciendo productos de ahorro, inversión y cobertura.

Con base en la información reportada por Comisión Nacional Bancaria y de Valores (CNBV, 2021)1, al cierre de enero del 2021 en México existían 50 instituciones bancarias, de los cuales sólo cuatro concentran más del 60% de participación de mercado en la cartera de consumo y casi 50% de la cartera empresarial. Así, por su tamaño, han sido denominados de importancia sistémica: BBVA Bancomer (BBVA), Citibanamex (C), Banorte (GFN), e Inbursa (GFIN). La importancia sistémica radica en que la quiebra potencial de dichas instituciones podría poner en riesgo la estabilidad del sistema financiero en México2.

Las instituciones bancarias se encuentran sujetas a múltiples riesgos, tanto de carácter endógeno como exógeno: uno de dichos riesgos se relaciona con los cambios abruptos en las cotizaciones de sus activos. Una alta volatilidad en el rendimiento de sus acciones podría tener efectos en el costo financiero, los accionistas demandarían mayor utilidad ante mayor riesgo. Igualmente, al ser percibidos como instrumentos con mayor riesgo, la colocación de activos existentes y nuevas emisiones, podrían llegar a presentar complicaciones.

En el contexto financiero global actual, caracterizado por la presencia de múltiples y persistentes crisis, las relaciones entre las instituciones bancarias clave son de sumo interés en términos de supervisión y regulación. Una alta dependencia en el riesgo/volatilidad de los rendimientos accionarios, podría llegar a tener graves implicaciones relacionadas con el riesgo sistémico, poniendo en peligro el correcto funcionamiento del sistema financiero.

Así, el presente trabajo de investigación propone un análisis dinámico de la volatilidad de los rendimientos accionarios de dichas instituciones, en otras palabras, la relación que existe entre el riesgo de cada institución. La hipótesis por contrastar es que, existe una relación de dependencia entre los rendimientos de las acciones bancarias que es variante en el tiempo y de diversa intensidad para cada par de bancos.

Los hallazgos son de suma importancia para el público inversionista local e internacional y para los diseñadores de política económica y para las autoridades de supervisión y regulación bancarias en México y a nivel internacional.

Para lograr el objetivo propuesto, se modelan las volatilidades de los rendimientos accionarios por medio de modelos GARCH univariados. Una vez estimada la volatilidad condicional, se estima la relación por pares mediante dos metodologías: correlación condicional dinámica (DCC-GARCH) y cópulas dinámicas (Cópula-GARCH). El periodo de estudio seleccionado comprende de 27 de enero de 2009 al 29 de octubre de 2021, incluyendo subperiodos de relativa calma y crisis, tales como la crisis de la deuda soberana y la más reciente crisis por la pandemia del Covid-19.

La contribución del trabajo radica en varios aspectos: 1) la literatura sobre el análisis de las relaciones interbancarias en México es muy escasa, 2) las metodologías propuestas son relativamente novedosas y permiten capturar apropiadamente la dinámica de las series financieras: no linealidad, no normalidad, heteroscedasticidad, memoria larga, valores extremos, por mencionar algunas, 3) los resultados son de suma importancia para la toma de decisiones de inversión y en términos de la supervisión y regulación financiera.

El trabajo se estructura de la siguiente manera: la sección dos presenta la literatura relacionada, la tercera sección describe la metodología y datos, la sección cuatro analiza los resultados y la quinta parte concluye el trabajo.

 Revisión de la literatura

Existe extensa literatura sobre diversos temas relacionados con el sector bancario en México, el crédito y el financiamiento (Zurita, 2017), la relación entre el crédito bancario y crecimiento económico (Lizarraga y de la Cruz Gallegos, 2011; Miller, 2013), morosidad y rentabilidad en la banca (Rodríguez, 2015), análisis de riesgo crediticio (García y García, 2010; García, Bolívar y Vázquez, 2016; García, García y Martínez, 2017), competencia y estructura del sector bancario (Gómez Rodríguez, Ríos Bolívar y Zambrano Reyes, 2018), por mencionar algunas líneas de investigación.

La existencia de estudios sobre la rentabilidad bursátil de los bancos en México, hasta donde se sabe, es casi nula. Aún más escasos, aquellos trabajos que versan sobre la relación de la volatilidad de los rendimientos entre los principales bancos en México. No obstante, existen algunos trabajos a nivel internacional sobre estos temas, como aquel desarrollado por Lobera, Pelayo y Rojas (2018) que analizan la valoración bursátil y rentabilidad de los bancos en España, Eurozona y EE. UU. Igualmente, Cabrera y Manuel (2016) estudian la rentabilidad de los bancos comerciales y el ambiente macroeconómico en Perú. Para la misma economía, Castro (2015) examinan el riesgo sistémico en el sistema financiero peruano.

En términos de la volatilidad de los rendimientos bursátiles bancarios, Moshirian y Wu (2012) analizan la relación entre la volatilidad del sector bancario y el crecimiento económico en 36 mercados. Para ello emplean un modelo de datos panel a través del Método Generalizado de Momentos (MGM). Los resultados revelan una relación positiva entre los rendimientos de las acciones bancarias y el crecimiento económico futuro y una relación negativa entre la volatilidad de los rendimientos de las acciones bancarias y el crecimiento económico futuro.

Schwert (2011) realiza un análisis de largo plazo (1802-2010) para medir la volatilidad y analizar su variación en el tiempo. Los hallazgos señalan que la volatilidad del rendimiento de las acciones tuvo un incremento importante en la crisis del año 2008, sobre todo, aquellas acciones de empresas financieras.

En cuanto a la línea de investigación que se centra en los spillovers (derrames) de volatilidad en el mercado accionario, Barunik et al. (2015) mide las asimetrías en los derrames de volatilidad procedentes de buena y mala volatilidad en siete sectores de la economía estadounidense. La evidencia empírica refiere que el sector financiero es aquel con una mayor cantidad de efectos derrame, a raíz de la crisis financiera.

Choudhry y Jayasekera (2014) analizan los derrames en la volatilidad y rendimientos en la industria bancaria en Europa durante la crisis financiera global. Proponen un modelo multivariado GARCH-GJR. Los resultados apuntan a que hubo un efecto derrame asimétrico en el periodo precrisis desde Alemania, Reino Unido y Estados Unidos, hacia el resto de las economías pequeñas dentro de la Unión Europea. Durante la crisis, la cantidad de derrames crecieron de las economías grandes hacia las pequeñas.

 Metodología

El presente trabajo tiene por objetivo analizar la relación dinámica que existe entre la volatilidad condicional de los rendimientos accionarios de cuatro de las principales instituciones bancarias que operan en México, por pares. Para lograr dicho objetivo, se emplean dos metodologías comparativas: DCC-GARCH y Cópula-GARCH.

En primer lugar, se estiman las volatilidades de los rendimientos accionarios bancarios para cada serie, a través del modelo GARCH univariado. Una vez que se cuenta con dichas estimaciones, una para cada institución bancaria, las series se modelan de manera bivariada a través de los modelos DCC y Cópula, con el fin de comparar los resultados.

Es preciso mencionar que el trabajo tiene fortalezas empíricas al incorporar la metodología de cópulas que permite capturar valores extremos y admite la vinculación entre variables, generando una función de distribución conjunta. Se hace uso de ello, ya que el modelo DCC-GARCH ya ocupa en un sentido directo la varianza condicional del GARCH univariado, mientras que la función cópula toma la varianza condicional del GARCH univariado para cada serie y forma una función de distribución conjunta que se ajusta a la naturaleza de los datos. Dicha estimación se realiza “n” veces a través del uso de ventanas rodantes.

 Modelos GARCH

Los modelos de la familia autorregresiva condicional heteroscedástica (ARCH) describen a la varianza condicional en función de los cuadrados de las perturbaciones y de las varianzas condicionales de observaciones previas.

La ventaja de estos modelos es que, son capaces de capturar las características primordiales de las series financieras (Francq y Zakoian, 2010). Acorde con lo anterior y conforme a lo expuesto por Bollerslev (1986), el proceso GARCH (p,q) se describe como:

ℇt|ψt-1~N0,ht

ht= α0+∑i=1qαi εt-i2+∑i=1pβi ht-i

Donde εt representa un proceso estocástico en tiempo discreto, ψt-1 es un conjunto de información a través del tiempo t y ht es la volatilidad condicional bajo las singularidades de p≥0, q>0, α0>0, αi≥0, i=1,2, …, q y βi≥0 i=1,2, …, p. Si p=0 se tiene el proceso ARCH (q) en regresión. La condición αi+βi<1 representa un proceso GARCH estacionario en el cual la permanencia en la volatilidad se interpreta mediante los valores de los coeficientes αi y βi. Donde si βi>αi los choques tienen efectos de largo plazo y la volatilidad no disminuye rápidamente (Bollerslev, 1986).

Los modelos GARCH univariados han sido extensamente empleados para modelar la volatilidad de: índices bursátiles (Oberholzer y Venter, 2015 y Aliyev, Ajayi y Gasim, 2020), precios de opciones (Venter, Mare y Pindza, 2020 y Venter, Levendis y Mare, 2022), precio del petróleo (Bouseba y Zeghdoudi, 2015 y Bouazizi, 2021), tipos de cambio (Pilbeam y Langeland, 2015), por mencionar algunos activos financieros.

En la presente investigación, los modelos GARCH son empleados para estimar la volatilidad de las series financieras, una vez estimada dicha volatilidad condicional, se miden los niveles de correlación dinámica a través de una doble implementación, primeramente, a través del modelo DCC-GARCH y posteriormente vía la estimación de cópulas dinámicas con el uso de ventanas móviles, ambos análisis se realizan sobre las series a la vez por pares.

 Modelos de correlación condicional DCC-GARCH

El modelo de Correlación Condicional Dinámica (DCC) parametriza directamente las correlaciones condicionales a partir de los residuos estandarizados (εit) de la volatilidad modelada por un GARCH univariado. La principal ventaja del modelo, en relación con otros GARCH multivariados, es el número de parámetros a estimar dentro del proceso de correlación, el cual es independiente del número de series correlacionadas (Engle, 2002). En otras palabras, el modelo DCC no sobre-parametriza, facilitando el análisis de los resultados.

De acuerdo con Engle (2002) y Aielli (2013), la ecuación que describe a este proceso está dada por:

Ht=Dt12RtDt12

Qt=1-a-bQ-+aεt-1εt-1'+bQt-1

Rt=Qt*-1QtQt*-1

En la cual, dentro de la ecuación 3, para la determinación de la matriz de covarianza condicional (Ht), Dt representa a la matriz de varianzas condicionales formada por los elementos diagonales de la estimación de un modelo GARCH univariado diagh1t,…,hNt. Luego, Rt=ρij,t es la matriz de correlación condicional compuesta por la matriz de cuasi - correlaciones Qt=qij,t y Qt*=diagq11,t,…, qNN,t. Finalmente, a y b son escalares y Q-=Eεtεt'.

Al igual que los modelos GARCH univariados, los modelos DCC-GARCH han sido ampliamente empleados en la literatura empírica, ya que son de gran utilidad para medir la influencia o sensibilidad que tiene un cierto activo ante cambios en otro instrumento o variable relevante. Así, se han estudiado los efectos de contagio y transmisión entre diversas monedas (Gomez-Gonzalez y Rojas-Espinosa, 2019 y Gabauer, 2020), índices bursátiles (Chittedi, 2015 y Le y Tran, 2021) y mercaderías (Shiferaw, 2019 y Jiang, et al. 2021).

 Teoría de Cópulas

La función cópula es una función de distribución multivariada generada a través de funciones de distribución marginales uniformemente distribuidas, a través del teorema de Sklar (Sklar, 1959) se sabe que, para cada función de distribución multivariada, fácilmente se deriva una función cópula. De hecho, dada una distribución F con marginales F1,…,Fn, la función cópula se denota como:

Cu1,…,un=FF1-1u1,…,Fn-1un

De acuerdo al teorema de Sklar, la densidad n-dimensional f puede ser representada como:

fx1,…,xn=fx1*…*fxn*cF1x1,…,Fnxn

donde c es la función de densidad de la cópula C. Este resultado reconoce que es permisible la elección de funciones de distribución marginales diferentes y una estructura de dependencia generada por la cópula, para luego ser usadas en la construcción de una distribución multivariada. En este sentido, se pretende lograr una estimación más refinada del comportamiento correlacional de la volatilidad obtenida a través de los modelos GARCH de los cuatro bancos propuestos; cabe decir, las volatilidades obtenidas por el GARCH univariado fungen como las funciones de distribución marginal bajo análisis y estas previo a la estimación vía la función cópula son ajustadas a un Kernel Gaussiano, para una captura más refinada de su comportamiento.

Existen un número considerable de familias de cópulas3; sin embargo, solo unas cuantas funciones cópula juegan un papel importante, entre las familias de cópulas que tienen este papel se encuentra la familia de cópulas arquimedianas, dichas cópulas arquimedianas serán las que estimaremos en este trabajo de investigación. Cabe decir, las cópulas arquimedianas se distinguen por tomar en cuenta la asimetría ponderando mayor peso a las estimaciones de las colas (Liebscher, 2008). Es importante mencionar, que se enuncian solo cópulas bivariadas, es decir, cópulas generadas a través de la interacción entre solo dos funciones marginales de distribución, en este caso las volatilidades de los bancos obtenidas por los GARCH univariados, esto debido a que se requiere contrastar la relación existente entre solo dos variables, en otras palabras, cual es la correlación entre dos variables.

La distribución bivariada perteneciente a la familia de las cópulas arquimedianas está representada como,

Cαu1,u2=ϕα-1ϕαu1+ϕαu2,  0≤u1,u2≤1

donde ϕα es convexa y decreciente tal que ϕα≥0. A la función ϕα se le denomina generador de la cópula Cα y la inversa del generador ϕα-1 es la transformada de Laplace de una variable latente denotada γ, la cual induce la dependencia α. De esta manera, la selección de un generador da como resultado diferentes cópulas de la familia arquimediana. En lo concerniente a este trabajo solo se especifican tres cópulas de esta familia arquimediana, las cuales son las más usuales dada su aparentemente fácil estimación y características: la cópula Clayton, la cópula Gumbel, y la cópula Frank. La Tabla 1 resume las características de las cópulas arquimedianas que se estimaran.

Cópulas arquimedianas
Función Cópula Generador Transforma de Laplace
Clayton cαu1,u2=u11-α+u21-α-111-α,α>1 ϕαt=t1-α-1 ϕα-1s=1+s11-α
Gumbel Cαu1,u2=exp⁡--ln⁡u11α+-ln⁡u21αα,0<α<1 ϕαt=-ln⁡t1α ϕα-1s=exp⁡-sα
Frank Cαu1,u2=ln⁡1+αu1-1αu2-1α-1ln⁡α,α>0 ϕαt=ln⁡αt-1α-1 ϕα-1s=ln⁡1+α-1esln⁡α

Fuente: Elaboración propia

Cada una de las múltiples familias de copulas está caracterizada por un parámetro que mide la relación entre las distribuciones marginales, el parámetro de dependencia θ. La estimación del parámetro de dependencia θ en este trabajo se realiza mediante el procedimiento de máxima verosimilitud. Este mecanismo de estimación puede ser aplicado a cualquier familia de cópulas a través de la maximización de su función de log-verosimilitud. La función de log-verosimilitud de la función cópula está definida como,

lθ=∑j=1nln⁡cF1xj,1,…,Fnxj,n+∑j=1n∑i=1dln⁡fixj,i

en donde θ es el conjunto de parámetros tanto de las marginales como de la cópula. De esta manera, dados el conjunto de marginales y una cópula, la función de log-verosimilitud puede ser maximizada obteniendo de esta forma el estimador de máxima verosimilitud.

Cabe decir, existe una relación entre el parámetro de dependencia θ y el parámetro de concordancia Tau de Kendall, τ. El parámetro Tau de Kendall funge como un parámetro de dependencia perfeccionado, dado que su cálculo se basa en rangos.

Existen varios criterios para determinar cuál es la cópula que mejor se ajusta a la distribución de los datos, entre las más utilizadas se encuentran los criterios de información de Akaike (AIC) y el criterio de información Bayesiano (BIC). La Tabla 2 especifica como son estimadas estas pruebas de bondad de ajuste.

Pruebas de bondad de ajuste de las cópulas
Criterio de información de Akaike Criterio de información Bayesiano
AIC=-2ln⁡θ^+2k BIC=-2ln⁡θ^+kln⁡n

Fuente: Elaboración propia.

Asimismo, las funciones cópula a través de la dependencia de cola capturan la dependencia en presencia de eventos extremos, esto debido a que pondera la relación de dependencia existente en las colas de las distribuciones. La Tabla 3 muestra los coeficientes de dependencia de cola de cópulas bivariadas.

Coeficientes de dependencia de cola de cópulas bivariadas
Coeficiente de dependencia de la cola superior Coeficiente de dependencia de la cola inferior
limu→1⁡1-2u+Cu,u1-u=λu limu→0⁡Cu,uu=λl

Fuente: Elaboración propia

Resumiendo, la parte metodológica referente a la teoría de cópulas y en particular su implementación vía las cópulas arquimedianas propuestas, la Tabla 4 muestra las ecuaciones resultantes de la implementación de la dependencia absoluta y la dependencia de cola de las cópulas arquimedianas propuestas. En sí, se tiene que una vez que se han estimado los parámetros de cada una de las cópulas estos valores de estos parámetros son utilizados para determinar la dependencia vía la tau de Kendall y las respectivas dependencias de cola.

Dependencia absoluta y de cola de las cópulas arquimedianas
Dependencia Absoluta Dependencia de Cola
Parámetro θ Tau de Kendall λu λ1
Cópulas arquimedianas Clayton θ>−1 θθ+2 0 2-1θ     θ>00          θ≤0
Gumbel θ˃1 θ-1θ 2-21θ 0
Frank θ∈IR 1-4θ1-D1θ 0 0

Fuente: Elaboración propia

Dadas sus bondades metodológicas, las cópulas también han sido usadas para estimar la estructura de dependencia en: las pérdidas de portafolios (Yaméogo y Barro, 2021), los mercados de valores (Yang, et al., 2015), mercado de bonos y mercado accionario (Naifar y Hammoudeh, 2016), entre algunos otros estudios.

 Resultados

Para la estimación de la correlación dinámica entre las volatilidades de los cuatro bancos estipulados: BBVA, City-Banamex, Banorte e Inbursa; se utilizan los datos de los precios accionarios semanales de cierre, siendo el periodo bajo análisis del 27 de enero de 2009 al 29 de octubre de 2021. La Gráfica 1 muestra los precios accionarios de los bancos y la Gráfica 2 exhibe tanto los rendimientos de los precios accionarios, así como los respectivos precios accionarios de los bancos bajo análisis.

Precios accionarios de los bancos: BBVA, Citi-Banamex, Banorte e Inbursa. Fuente: Elaboración propia.

Precios y rendimientos accionarios de los Bancos: BBVA, Citi-Banamex, Banorte e Inbursa. Fuente: Elaboración propia.

Previo a la estimación y análisis de la correlación dinámica, en la Tabla 5 se presentan los estadísticos descriptivos. Se puede notar que Grupo Financiero Banorte (GFN) es aquel cuyos rendimientos promedios presentan mayor valor, seguidos por Grupo Financiero Inbursa (GFIN) y por City-Banamex (C). Cabe señalar que los rendimientos son negativos en el caso de BBVA. En cuanto a la variación de dichos rendimientos semanales, es de señalar que, el comportamiento es muy parecido, es decir, que la desviación estándar (riesgo) de las series tienen un valor similar, alrededor de 4.5%, exceptuando el caso de City-Banamex con un valor de 6.7%. En cuanto al sesgo, BBVA e Inbursa muestran valores positivos, mientras que Banorte y City-Banamex, reflejan un sesgo negativo. Igualmente, la Tabla 5 muestra los resultados de las pruebas de normalidad (Jarque-Bera) y Heteroscedasticidad o efecto ARCH. Así, se puede observar que las series no son normales, ni homoscedásticas, por lo que, la aproximación GARCH es apropiada para la modelación de las series.

Estadísticos descriptivos y pruebas de normalidad y heteroscedasticidad.
  BBVA C GFI GFN
Media -0.000355 0.000484 0.000898 0.002482
Máximo 0.2136 0.611019 0.24955 0.292676
Mínimo -0.259039 -0.809997 -0.129818 -0.221654
Desv Est 0.047996 0.066956 0.04108 0.045045
Sesgo 0.039144 -1.688316 0.404717 -0.208304
Curtosis 5.358449 48.04397 5.755789 8.280368
Jarque-Bera 158.2356 57980.25 234.4248 797.2536
ARCH (F-stat) 9.2906*** 58.6192*** 3.3069*** 9.0545***

Fuente: Elaboración propia con datos de la estimación, *** denota significancia estadística al 1%

La Tabla 6 reporta los resultados de las pruebas de raíces unitarias, las cuales permiten garantizar la condición de estacionaridad en las series tanto en niveles como en primeras diferencias y en los tres casos considerando intercepto, intercepto y tendencia y ninguno de los anteriores. La ausencia de raíz unitaria es cualidad necesaria para la estimación de los modelos GARCH y DCC.

Pruebas de raíces unitarias (ADF y PP) sobre los rendimientos.
Var.     ADF   PP  
    NIVEL   1 DIF.   NIVEL   1 DIF.  
BBVA int -27.42199 *** -16.29277 *** -27.38733 *** -124.4131 ***
int y ten -27.40591 *** -16.28441 *** -27.37197 *** -122.9883 ***
ninguno -27.44125 *** -16.30245 *** -27.40571 *** -124.5062 ***
C int -28.54993 *** -18.18087 *** -18.18087 *** -129.2738 ***
int y ten -28.53107 *** -18.21529 *** -31.09606 *** -129.9223 ***
ninguno -28.5643 *** -18.17605 *** -31.06269 *** -129.1919 ***
GFI int -28.15068 *** -13.81036 *** -28.62754 *** -215.2919 ***
int y ten -28.15444 *** -13.81736 *** -28.73399 *** -216.4 ***
ninguno -28.15605 *** -13.81995 *** -28.6168 *** -215.0487 ***
GFN int -28.11856 *** -16.97244 *** -28.04834 *** -267.2139 ***
int y ten -28.15759 *** -16.96838 *** -28.10216 *** -269.8551 ***
ninguno -28.03709 *** -16.98321 *** -27.96292 *** -268.4347 ***

Fuente: Elaboración propia con datos de la estimación, *** denota significancia estadística al 1%

Los resultados del modelo AR(1) GARCH (1,1) univariado, presentados en la Tabla 7, evidencian que los términos del ARCH y GARCH son estadísticamente significativos y al mismo tiempo la condición sobre la suma de los términos α y β para los rendimientos accionarios de los cuatro bancos se mantienen menores y cercanos a la unidad. Esto se traduce en la presencia de un proceso de reversión a la media en la volatilidad de las variables donde los choques solo son transitorios.

Resultados de los modelos univariados AR(1) GARCH (1,1)
BBVA C GFI GFN
Variable Coef Prob. Coef Prob. Coef Prob. Coef Prob.
C(m) -2.38E-05 0.001983 0.000425 0.002919 **
AR(1) -0.035987 -0.009354 -0.078955 * -0.090717 **
C(v) 0.000178 ** 9.31E-05 *** 9.44E-05 * 7.77E-05 **
α₁ 0.147823 *** 0.113717 *** 0.0769 *** 0.087148 ***
β₁ 0.766129 *** 0.836192 *** 0.866392 *** 0.864345 ***
α+β 0.913952 0.949909 0.943292 0.951493
T-DIST. DOF 11.29986 *** 4.377783 *** 6.894509 *** 5.925984 ***

Nota: *, ** y ***, denotan significancia al 10%, 5% y 1%.

Fuente: Elaboración propia.

La Gráfica 3 muestra las volatilidades condicionales obtenidas a través del proceso AR(1) GARCH (1,1) univariado para cada uno de los bancos.

Volatilidad Condicional obtenida del proceso AR(1) GARCH(1,1) univariado, para cada uno de los bancos: BBVA, Banorte e Inbursa y Citi-Banamex. Fuente: Elaboración propia.

La Gráfica 3 evidencia varios periodos de marcada volatilidad, pero sobresalen dos periodos de alta volatilidad: uno durante el 2009 como consecuencia de las secuelas de la crisis Subprime y otro en el primer trimestre de 2020 originado por la crisis sanitaria por Covid-19 la cual se convirtió rápidamente también en crisis financiera.

La Tabla 8 muestra los resultados del modelo AR(1) GARCH(1,1) DCC. Como se puede observar, los bancos cuyas volatilidades de sus rendimientos muestran mayor correlación ρ₂,₁ son BBVA y City Banamex (0.46), seguidos por la relación Inbursa-Banorte (0.38). Dicho hallazgo es interesante, debido a que la primera relación se da entre los dos bancos con mayor participación en México, en términos de cartera de consumo. Ambos bancos son de origen extranjero y eso podría explicar que la evolución de sus rendimientos se vea influenciada por factores similares. En cuanto a la segunda relación con mayor valor, ambos bancos son de capital mexicano y podrían verse más afectados por variables locales. Los resultados señalan que las correlaciones entre todas las instituciones bancarias son positivas y estadísticamente significativas.

Correlación Condicional Dinámica Simétrica.
  C-BBVA   C-GFI   C-GFN  
ρ2,1 0.4647 *** 0.09502 * 0.15896 **
Θ1 0.0208 0.02584 0.02622
Θ2 0.9217 *** 0.88484 *** 0.92973 ***
df 5.6709 *** 5.10699 *** 4.79801 ***
  BBVA-GFI   BBVA-GFN   GFI-GFN  
ρ2,1 0.1765 *** 0.2230 *** 0.3786 ***
Θ1 0 0.0211 *** 0.0063
Θ2 0.3560 0.9597 *** 0.9586 ***
df 8.6679 *** 7.9122 *** 7.4796 ***

Nota: *, ** y ***, denotan significancia al 10%, 5% y 1%.

Fuente: Elaboración propia.

A partir de los resultados, se comprueba que se satisface la condición 0≤θ1+θ2≤1, lo que garantiza la estabilidad del proceso DCC (Kurasawa, 2016). Los coeficientes de θ1 y θ2 son estadísticamente significativos para los modelos de correlación entre BBVA e Inbursa, mientras que θ2 es estadísticamente significativa para todos los modelos y θ1, únicamente para la relación previamente señalada. Los valores de los grados de libertad (df) apuntan a que las distribuciones presentan colas pesadas.

Las pruebas de Hosking para la correlación con serial de los residuos y de Mcleod - Li para la heteroscedasticidad condicional autorregresiva se observan en la tabla 9 y explican que, una vez estimado el modelo DCC - AR(1) GARCH (1,1) no existe la presencia de efectos ARCH en los residuales al cuadrado con 50 rezagos con una probabilidad del 99%.

Prueba de Hosking<xref ref-type="table-fn" rid="TFN11"><sup>1/</sup></xref> y Mcleod-Li<xref ref-type="table-fn" rid="TFN12"><sup>2/</sup></xref> sobre el cuadrado de los residuos estandarizados hasta el rezago k.
  C-BBVA C-GFI C-GFN BBVA-GFI BBVA-GFN GFI-GFN
  Coef Prob Coef Prob Coef Prob Coef Prob Coef Prob Coef Prob
Hosking(50) 228.6 ** 203.9 *** 132.3 *** 180.7 *** 148.1 *** 173.9 ***
Li-McLeod(50) 229.2 ** 204.3 *** 136.1 *** 183 *** 150.1 *** 176 ***

1/ Hipótesis nula: Los residuos no presentan correlación serial.

2/ Hipótesis nula: No hay heteroscedasticidad condicional autorregresiva.

La Gráfica 4 muestra las correlaciones condicionales obtenidas a través del proceso DCC- AR(1)-GARCH(1,1) para cada uno de los bancos.

Correlación Condicional de la Volatilidad obtenida del proceso DCC-AR(1)-GARCH(1,1), para cada uno de los bancos: BBVA, Citi-Banamex, Banorte e Inbursa. Fuente: Elaboración propia.

Por otro lado, para la estimación del proceso propuesto vía el uso de las cópulas, de igual manera que en el proceso DCC-AR(1)-GARCH(1,1), se utilizan las volatilidades obtenidas previamente del proceso AR(1)-GARCH(1,1). La estimación de la correlación (dependencia) entre las volatilidades de los rendimientos de los precios accionarios de los bancos bajo análisis se lleva a cabo mediante el uso de cópulas de la familia Arquimediana: cópula Clayton, cópula Gumbel y cópula Frank, y mediante el uso de ventanas rodantes de 52 semanas, es decir, cada ventana (sub-serie) de la serie principal corresponde a un año. En este sentido, dada la serie principal Yt:t=1,2,…,m,…,n, se generará un registro de estimaciones dada de cada una de las ventanas generadas y asimismo se tendrá el registro de cada una de las cópulas propuestas.

Las cópulas estimadas son bivariadas, si son 4 los bancos analizados en consecuencia se tienen 12 diferentes pares de combinaciones; dado lo anterior es primordial simplificar los resultados, para ello es que se hace uso de los criterios de información: el de Akaike y el Bayesiano, los cuales servirán para la determinación de la cópula que presente el mejor ajuste. La Tabla 10 resume los valores promedios obtenidos por cada una de las cópulas propuestas. A través de la Tabla 10 podemos determinar que la correlación de la volatilidad entre los bancos Grupo Financiero Banorte (GFN), Grupo Financiero Inbursa (GFIN), City-Banamex (C) y BBVA debe ser estimada sin tomar en cuenta la asimetría en las colas de las distribuciones conjuntas obtenidas a través de las cópulas Clayton (cola izquierda) y Gumbel (cola derecha), esto debido a que la cópula que mostro el mejor ajuste para todas las combinaciones fue la cópula Frank, cópula que no hace énfasis en el comportamiento extremo de las colas de la distribución.

Pruebas AIC y BIC estimadas por ventanas para determinar la mejor Cópula Bivariada de la Volatilidad obtenida del proceso AR(1)-GARCH(1,1), para cada uno de los bancos: BBVA, Citi-Banamex, Banorte e Inbursa.
 AIC / BIC Clayton Frank Gumbel   Clayton Frank Gumbel
BBVA - CITI -11.78 -13.42 -13.10 GFI - BBVA -10.86 -11.37 -8.89
-7.34 -8.97 -8.66 -6.42 -6.92 -4.45
BBVA - GFI -10.86 -11.37 -8.89 GFI - CITI -12.33 -12.90 -12.22
-6.42 -6.92 -4.45 -7.88 -8.45 -7.78
BBVA - GFN -19.04 -21.80 -19.86 GFI - GFN -17.51 -19.53 -18.40
-14.59 -17.35 -15.42 -13.07 -15.09 -13.96
CITI - BBVA -11.78 -13.42 -13.10 GFN - BBVA -19.04 -21.80 -19.86
-7.34 -8.97 -8.66 -14.59 -17.35 -15.42
CITI - GFI -12.33 -12.90 -12.22 GFN - CIIT -7.04 -11.87 -10.64
-7.88 -8.45 -7.78 -2.59 -7.42 -6.19
CITI - GFN -7.04 -11.87 -10.64 GFN - GFI -17.51 -19.53 -18.40
-2.59 -7.42 -6.19 -13.07 -15.09 -13.96

Fuente: Elaboración propia.

Tomando como punto de partida los resultados mostrados en la tabla 10, referente a las cópulas que obtuvieron el mejor ajuste, se grafican solamente los patrones de correlación absoluta de la cópula Frank, y con respecto a los patrones de dependencia de cola en la cópula Frank es nula, por ende, se omite, la Gráfica 5 da cuenta de ello.

A través de la Gráfica 5 se puede resaltar la alta correlación en volatilidad que tienen los bancos principalmente en el periodo de la crisis sanitaria por COVID-19. Dado que se observa que los patrones de dependencia absoluta de la cópula Frank en ese periodo manifestaron valores por arriba del 0.7, se puede afirmar que la respuesta de la volatilidad de los distintos bancos bajo estudio es muy similar. Asimismo, sobresale que, a diferencia del proceso DCC, las variaciones de correlación dinámica capturadas a través de cópulas muestran un comportamiento variante a través del tiempo y no casi constante como lo fue en la combinación BBVA-GFI en el caso del proceso DCC.

Correlación Condicional de la Volatilidad obtenida del proceso Cópula-AR(1)-GARCH(1,1), para cada uno de los bancos: BBVA, Citi-Banamex, Banorte e Inbursa. Fuente: Elaboración propia.

Los resultados obtenidos, tanto por la vía del proceso DCC como a través del proceso vía cópulas, son de gran importancia para la diversificación de portafolios dado que se ha identificado que activos con alta correlación positiva, así sea correlación en volatilidad, no brindan a los inversionistas el beneficio de reducción de riesgos, en sí la volatilidad es vista como la métrica principal de riesgo. En contraparte, si se tienen activos con baja correlación estos sí brindan el beneficio de reducción de riesgos, dado que se cumple el principio de diversificación. Ante esto, la evidencia empírica mostrada por los bancos bajo análisis muestra que se tienen patrones cambiantes de correlación sobresaliendo los altos patrones durante el periodo de la crisis derivada por el COVID-19.

Finalmente, la Gráfica 6 muestra el comparativo entre los resultados obtenidos entre las dos metodologías propuestas, DCC-AR(1)-GARCH(1,1) versus Cópula-AR(1)-GARCH(1,1). Los resultados conjuntos afirman que la correlación entre volatilidades de los principales bancos que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores tiene patrones cambiantes y en sí que el contraste de resultados a través de las metodologías propuestas evidencia por momentos resultados similares y que estos son más restrictivos conforme la metodología incluya una captura distribucional óptima sobre el comportamiento de los datos.

Correlación Condicional de la Volatilidad obtenida por los procesos DCC-AR(1)-GARCH(1,1) y Cópula-AR(1)-GARCH(1,1), para cada uno de los bancos: BBVA, Citi-Banamex, Banorte e Inbursa. Fuente: Elaboración propia.

Como se demostró anteriormente, el vínculo más importante es aquel presentado por BBVACiti Banamex y el segundo más fuerte es el de Inbursa-Banorte.

 Conclusiones

El presente trabajo analiza la relación dinámica que existe entre la volatilidad de los rendimientos accionarios de cuatro de los principales bancos en México, con el fin de identificar qué tan estrecho es el vínculo entre el riesgo de dichos activos en tiempos de incertidumbre y relativa calma.

Para lograr dicho objetivo, se estima la volatilidad condicional de los rendimientos bancarios mediante modelos AR(1) GARCH (1,1) univariados y posteriormente se estiman un proceso DCC y otro vía cópulas. Los resultados muestran que los modelos planteados son idóneos y que en particular el proceso Cópula-AR(1)-GARCH(1,1) se adapta mejor a las características de las series, captando adecuadamente el comportamiento de las mismas.

La evidencia empírica es similar a aquella presentada por Choudhry y Jayasekera (2014), quienes señalan que la intensidad de los vínculos entre las instituciones bancarias europeas es distinta.

Los resultados de ambas metodologías muestran que la relación entre la volatilidad de los rendimientos accionarios bancarios varía a través del tiempo, intensificándose en momentos de mayor incertidumbre, asociados a la crisis de la deuda soberana, la ralentización de la economía en 2018 y principalmente durante la pandemia por COVID-19.

Dentro de la agenda de futuros estudios se podrían incorporar modelos multivariados BEKK y VIRF (Volatility impulse response functions for multivariate GARCH models) para examinar la relación de volatilidad entre diversas instituciones bancarias.

 Referencias Adrianzen, C. C. M. (2016). La rentabilidad de los bancos comerciales y el ambiente macroeconómico: el caso peruano en el periodo 1982-2014. Tesis. Doctorado. Universitat Politècnica de Catalunya. Departamento de Organización de Empresas. Programa de Doctorado en Administración y Dirección de Empresas. Disponible en https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/96389/TCMAC1de1.pdf Adrianzen C. C. M. 2016 La rentabilidad de los bancos comerciales y el ambiente macroeconómico: el caso peruano en el periodo 1982-2014. Doctorado Universitat Politècnica de Catalunya, Departamento de Organización de Empresas https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/96389/TCMAC1de1.pdf Aielli, G. P. (2013). Dynamic conditional correlation: on properties and estimation. Journal of Business & Economic Statistics, 31(3), 282-299. Aielli G. P. 2013 Dynamic conditional correlation: on properties and estimation Journal of Business & Economic Statistics 31 3 282 299 Aliyev, F., Ajayi, R., & Gasim, N. (2020). Modelling asymmetric market volatility with univariate GARCH models: Evidence from Nasdaq-100. The Journal of Economic Asymmetries, 22, e00167. Aliyev F. Ajayi R. Gasim N. 2020 Modelling asymmetric market volatility with univariate GARCH models: Evidence from Nasdaq-100 The Journal of Economic Asymmetries 22 e00167 Baruník, J., Kocenda, E., & Vácha, L. (2015). Volatility spillovers across petroleum markets. The Energy Journal, 36(3). Baruník J. Kocenda E. Vácha L. 2015 Volatility spillovers across petroleum markets The Energy Journal 36 3 Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of econometrics, 31(3), 307-327. Bollerslev T. 1986 Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity Journal of econometrics 31 3 307 327 Bouazizi, T. (2021). Oil price volatility models during coronavirus crisis: testing with appropriate models using further univariate garch and monte carlo simulation models. 670216917. Bouazizi T. 2021 Oil price volatility models during coronavirus crisis: testing with appropriate models using further univariate garch and monte carlo simulation models 670216917 Bouseba, F. Z., & Zeghdoudi, H. (2015). Use of the garch models to energy markets: Oil price volatility. Global Journal of Pure and Applied, 4385-4394. Bouseba F. Z. Zeghdoudi H. 2015 Use of the garch models to energy markets: Oil price volatility Global Journal of Pure and Applied 4385 4394 Castro, C. (2015). Riesgo sistémico en el sistema financiero peruano. Revista de estudios económicos, 29, 77-90. Castro C. 2015 Riesgo sistémico en el sistema financiero peruano Revista de estudios económicos 29 77 90 Chittedi, K. R. (2015). Financial crisis and contagion effects to Indian stock market:‘DCC-GARCH’analysis. Global Business Review, 16(1), 50-60. Chittedi K. R. 2015 Financial crisis and contagion effects to Indian stock market:‘DCC-GARCH’analysis Global Business Review 16 1 50 60 Choudhry, T., & Jayasekera, R. (2014). Returns and volatility spillover in the European banking industry during global financial crisis: Flight to perceived quality or contagion? International Review of Financial Analysis, 36, 36-45. Choudhry T. Jayasekera R. 2014 Returns and volatility spillover in the European banking industry during global financial crisis: Flight to perceived quality or contagion? International Review of Financial Analysis 36 36 45 Engle, R.F. (2002). Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate GARCH Models, Journal of Business and Economic Statistics, 20, 339-350. Engle R.F. 2002 Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate GARCH Models Journal of Business and Economic Statistics 20 339 350 Francq, C., & Zakoian, J. M. (2010). Strict stationarity testing and estimation of explosive ARCH models. Francq C. Zakoian J. M. 2010 Strict stationarity testing and estimation of explosive ARCH models Gabauer, D. (2020). Volatility impulse response analysis for DCC‐GARCH models: The role of Volatility Transmission Mechanisms. Journal of Forecasting, 39(5), 788-796. Gabauer D. 2020 Volatility impulse response analysis for DCC‐GARCH models: The role of Volatility Transmission Mechanisms Journal of Forecasting 39 5 788 796 García, J. C. T., Bolívar, H. R., & Vázquez, F. A. (2016). Actualización del modelo de riesgo crediticio, una necesidad para la banca revolvente en México. Revista Finanzas y Política Económica, 8(1), 17-30. García J. C. T. Bolívar H. R. Vázquez F. A. 2016 Actualización del modelo de riesgo crediticio, una necesidad para la banca revolvente en México Revista Finanzas y Política Económica 8 1 17 30 García, J. C. T., García, M. Á. M., & Martínez, F. V. (2017). Administración del riesgo crediticio al menudeo en México: una mejora econométrica en la selección de variables y cambios en sus características. Contaduría y administración, 62(2), 377-398. García J. C. T. García M. Á. M. Martínez F. V. 2017 Administración del riesgo crediticio al menudeo en México: una mejora econométrica en la selección de variables y cambios en sus características Contaduría y administración 62 2 377 398 García, M. L. S., & García, M. J. S. (2010). Modelos para medir el riesgo de crédito de la banca. Cuadernos de administración, 23(40). García M. L. S. García M. J. S. 2010 Modelos para medir el riesgo de crédito de la banca Cuadernos de administración 23 40 Gómez Rodríguez, T., Ríos Bolívar, H., & Zambrano Reyes, A. (2018). Competencia y estructura de mercado del sector bancario en México. Contaduría y administración, 63(1), 0-0. Gómez Rodríguez T. Ríos Bolívar H. Zambrano Reyes A. 2018 Competencia y estructura de mercado del sector bancario en México Contaduría y administración 63 1 0 0 Gomez-Gonzalez, J. E., & Rojas-Espinosa, W. (2019). Detecting contagion in Asian exchange rate markets using asymmetric DCC-GARCH and R-vine copulas. Economic Systems, 43(3-4), 100717. Gomez-Gonzalez J. E. Rojas-Espinosa W. 2019 Detecting contagion in Asian exchange rate markets using asymmetric DCC-GARCH and R-vine copulas Economic Systems 43 3-4 100717 100717 Jian, C., Jie, L., & Ting, L. (2021). A Study of Linkage between Crude Oil and Natural Gas in North American Market: Based on the Empirical Analysis of Bayesian DCC-GARCH Model and LSTAR Model. Management Review, 33(7), 16. Jian C. Jie L. Ting L. 2021 A Study of Linkage between Crude Oil and Natural Gas in North American Market: Based on the Empirical Analysis of Bayesian DCC-GARCH Model and LSTAR Model Management Review 33 7 16 16 Jiang, Y., Jiang, C., Nie, H., & Mo, B. (2019). The time-varying linkages between global oil market and China's commodity sectors: Evidence from DCC-GJR-GARCH analyses. Energy, 166, 577-586. Jiang Y. Jiang C. Nie H. Mo B. 2019 The time-varying linkages between global oil market and China's commodity sectors: Evidence from DCC-GJR-GARCH analyses Energy 166 577 586 Le, T. P. T. D., & Tran, H. L. M. (2021). The contagion effect from US stock market to the Vietnamese and the Philippine stock markets: The evidence of DCC-GARCH model. The Journal of Asian Finance, Economics and Business, 8(2), 759-770. Le T. P. T. D. Tran H. L. M. 2021 The contagion effect from US stock market to the Vietnamese and the Philippine stock markets: The evidence of DCC-GARCH model The Journal of Asian Finance, Economics and Business 8 2 759 770 Liebscher, E. (2008). Construction of asymmetric multivariate copulas. Journal of Multivariate analysis, 99(10), 2234-2250. Liebscher E. 2008 Construction of asymmetric multivariate copulas Journal of Multivariate analysis 99 10 2234 2250 Lizarraga, J. Á. A., & de la Cruz Gallegos, J. L. (2011). Crecimiento económico y el crédito bancario: un análisis de causalidad para México. Revista de Economía, Facultad de Economía, Universidad Autónoma de Yucatán, 28(77), 39-39. Lizarraga J. Á. A. de la Cruz Gallegos J. L. 2011 Crecimiento económico y el crédito bancario: un análisis de causalidad para México Revista de Economía Facultad de Economía, Universidad Autónoma de Yucatán 28 77 39 39 Lobera, A. B., Pelayo, A., & Rojas, F. (2018). Valoración bursátil y rentabilidad de los bancos: España, eurozona, Estados Unidos. Cuadernos de Información económica, (264), 83-91. Lobera A. B. Pelayo A. Rojas F. 2018 Valoración bursátil y rentabilidad de los bancos: España, eurozona, Estados Unidos Cuadernos de Información económica 264 83 91 Miller, J. L. C. (2013). Crédito bancario y crecimiento económico en México. Economía informa, 378, 14-36. Miller J. L. C. 2013 Crédito bancario y crecimiento económico en México Economía informa 378 14 36 Moshirian, F., & Wu, Q. (2012). Banking industry volatility and economic growth. Research in International Business and Finance, 26(3), 428-442. Moshirian F. Wu Q. 2012 Banking industry volatility and economic growth Research in International Business and Finance 26 3 428 442 Naifar, N., & Hammoudeh, S. (2016). Dependence structure between sukuk (Islamic bonds) and stock market conditions: An empirical analysis with Archimedean copulas. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money, 44, 148-165. Naifar N. Hammoudeh S. 2016 Dependence structure between sukuk (Islamic bonds) and stock market conditions: An empirical analysis with Archimedean copulas Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 44 148 165 Nelsen, R. B. (2006). An Introduction to Copulas. Springer. New York, USA. https://doi.org/10.1007/0-387-28678-0 Nelsen R. B. 2006 An Introduction to Copulas Springer New York, USA 10.1007/0-387-28678-0 Oberholzer, N., & Venter, P. (2015). Univariate GARCH models applied to the JSE/FTSE stock indices. Procedia Economics and Finance, 24, 491-500. Oberholzer N. Venter P. 2015 Univariate GARCH models applied to the JSE/FTSE stock indices Procedia Economics and Finance 24 491 500 Pilbeam, K., & Langeland, K. N. (2015). Forecasting exchange rate volatility: GARCH models versus implied volatility forecasts. International Economics and Economic Policy, 12(1), 127-142. Pilbeam K. Langeland K. N. 2015 Forecasting exchange rate volatility: GARCH models versus implied volatility forecasts International Economics and Economic Policy 12 1 127 142 Rodríguez, R. C. (2015). Morosidad en el pago de créditos y rentabilidad de la banca comercial en México. Revista Mexicana de Economía y Finanzas. Nueva Época/Mexican Journal of Economics and Finance, 10(1), 71-83. Rodríguez R. C. 2015 Morosidad en el pago de créditos y rentabilidad de la banca comercial en México Revista Mexicana de Economía y Finanzas. Nueva Época/Mexican Journal of Economics and Finance 10 1 71 83 Schwert, G. W. (2011). Stock volatility during the recent financial crisis. European Financial Management, 17(5), 789-805. Schwert G. W. 2011 Stock volatility during the recent financial crisis European Financial Management 17 5 789 805 Shiferaw, Y. A. (2019). Time-varying correlation between agricultural commodity and energy price dynamics with Bayesian multivariate DCC-GARCH models. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 526, 120807. Shiferaw Y. A. 2019 Time-varying correlation between agricultural commodity and energy price dynamics with Bayesian multivariate DCC-GARCH models Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 526 120807 120807 Sklar, A. (1959). Fonctions de Répartition à n Dimensions et Leurs Marges. Publications de l’Institut Statistique de l’Université de Paris, 8, 229-231. Sklar A. 1959 Fonctions de Répartition à n Dimensions et Leurs Marges Publications de l’Institut Statistique de l’Université de Paris 8 229 231 Venter, P. J., Levendis, A., & Mare, E. (2022). Collateralised option pricing in a South African context: A Univariate GARCH approach. Cogent Economics & Finance, 10(1), 2106631. Venter P. J. Levendis A. Mare E. 2022 Collateralised option pricing in a South African context: A Univariate GARCH approach Cogent Economics & Finance 10 1 2106631 2106631 Venter, P. J., Mare, E., & Pindza, E. (2020). Price discovery in the cryptocurrency option market: A univariate GARCH approach. Cogent Economics & Finance, 8(1), 1803524. Venter P. J. Mare E. Pindza E. 2020 Price discovery in the cryptocurrency option market: A univariate GARCH approach Cogent Economics & Finance 8 1 1803524 1803524 Yaméogo, W., & Barro, D. (2021). Modeling the dependence of losses of a financial portfolio using nested archimedean copulas. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2021. Yaméogo W. Barro D. 2021 Modeling the dependence of losses of a financial portfolio using nested archimedean copulas International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences Yang, L., Cai, X. J., Li, M., & Hamori, S. (2015). Modeling dependence structures among international stock markets: Evidence from hierarchical Archimedean copulas. Economic Modelling, 51, 308-314. Yang L. Cai X. J. Li M. Hamori S. 2015 Modeling dependence structures among international stock markets: Evidence from hierarchical Archimedean copulas Economic Modelling 51 308 314 Zuríta, W. B. (2017). Crédito y financiamiento bancario (Brasil y México). Ola Financiera, (28), 63-85. Zuríta W. B. 2017 Crédito y financiamiento bancario (Brasil y México) Ola Financiera 28 63 85

https://www.cnbv.gob.mx/Entidades-Autorizadas/Paginas/Banca-Multiple.aspx

Cabe señalar que en un principio se planteó la inclusión de otros tres bancos que, junto con los mencionados, constituyen al grupo denominado G7; sin embargo, dado que había muchas observaciones faltantes en las series de las cotizaciones de los bancos Santander, HSBC y Scotiabank, se decidió no incluirlos en el estudio.

Para mayor referencia véase el libro “Una Introducción a las Cópulas” de Roger Nelsen (Nelsen, 2006).

En un inicio, la investigación contemplaba datos diarios; sin embargo, a diferencia de otros sectores, las acciones del sector bancario mexicano no experimentan variaciones tan importantes en su precio, por lo cual, los valores de los rendimientos diarios no presentaban cambios, es decir, sus variaciones diarias en muchos casos eran cero, dificultando la modelación. Así, se propone una investigación con datos semanales, obteniendo resultados favorables.